Determinantes

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Determinante

Um número associado a uma matriz...

Cada matriz tem um...

Para matrizes formadas por $\mathbb{R}$ tem um significado especial

Notação

$$\operatorname{det}(A) = |A|$$

Determinantes Pequenos

$$|a_{11}| = a_{11}$$
$$|3| = 3$$

Determinantes Pequenos

$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$$
$$\begin{vmatrix}3 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10$$

Determinantes Pequenos

$$ \begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\\ &\ \quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \end{align*}$$
$$\begin{vmatrix}3 & 1 & 2\\ 6 & 2 & 4\\ 9 & 3 & 6\end{vmatrix} = 0$$

Forma Geral

Para todas as escolhas possíveis de um elemento por linha e coluna...

Multiplique todos os números...

Veja a paridade...

Some tudo no final...

O QUE!?

Permutação

Uma ordem para o conjunto $\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$

$$\sigma = \left(1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n\right)$$

Permutação

Uma ordem para o conjunto $\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$

$$\sigma = \left(n, n - 1, n - 2, \ldots, 1\right)$$

Permutação

$\sigma(1)$ quem está na primeira posição

$\sigma(k)$ quem está na $k$-ésima posição

Exemplo

$$\sigma = \left(2, 1, 3\right)$$
$$ \begin{align*} \sigma(1) &= 2\\ \sigma(2) &= 1\\ \sigma(3) &= 3 \end{align*} $$

Paridade

quantas inversões existem

inversão é $\sigma(i) > \sigma(j)$ com $i < j$

$$\sigma = \left(3, 2, 1\right)$$
$$\operatorname{par}(\sigma) = 3$$

Finalmente

$\mathcal{S}$ conjunto das permutações com $n$ elementos

$$A_{n \times n}$$
$$\operatorname{det}(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}} {(-1)}^{\operatorname{par}(\sigma)} a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}$$

Propriedades

  • $|A| = |A^T|$
  • Linha de $A$ é zero ⇒ $|A| = 0$
  • Linhas iguais ⇒ $|A| = 0$
  • $A$ é triangular ⇒ $|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
  • $|I| = 1$, $|0_{n \times n}| = 0$
  • $|kA| = k^n|A|$
  • $|AB| = |A||B|$

Teorema

É equivalente dizer

  • $A$ é não-singular
  • $Ax = 0$ tem uma única solução
  • $|A| \neq 0$

Semelhança

$A$ é semelhante à $B$

⇅

Existe $P$ tal que $B = P^{-1} A P$

$A$ semelhante à $B$ ⇒ $|A| = |B|$

Regra de Laplace

Menor
$|M_{ij}|$ aonde $M_{ij}$ é obtido removendo a linha $i$ e coluna $j$
Cofator
$A_{ij} = {(-1)}^{i + j} |M_{ij}|$

Expansão de Laplace

O determinante pode ser calculado com

$$ \begin{align*} \det(A) &= a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} &\quad \forall i\\ \det(A) &= a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} &\quad \forall j \end{align*} $$

Fim