Espaço Vetorial

Conjunto de vetores $\mathcal{V}$ com

• Soma de vetores $+$
• Multiplicação por escalar $\cdot$

Com condições!

A soma é associativa

Existe um elemento neutro para a soma

Existe $0$ tal que

Existe um oposto aditivo para cada vetor

$\forall x$ existe $-x$ tal que

A soma é comutativa

Multiplicação por Escalar distributiva com a soma

Soma Escalar distributiva com a Multiplicação por Escalar

Multiplicação Escalar associativa com a Multiplicação por Escalar

Elemento neutro na Multiplicação por Escalar

Exemplos de Espaços Vetoriais

• $\mathbb{R}^n$ vetores de números reais com $n$ coordenadas
• $\mathbb{M}_{n \times m}$ matrizes $n \times m$
• $\mathcal{P}_n$ o conjunto de todos os polinômios de grau máximo $n$

Propriedades

• $a 0 = 0$
• $0 x = 0$
• Se $ax = 0$, então $a = 0$ ou $x = 0$
• $(-a)x = a(-x) = -(ax)$

Combinação Linear

Vetores $v_1, v_2, \ldots, v_n$

Escalares $a_1, a_2, \ldots, a_n$

$v$ é combinação linear de $v_1, v_2, \ldots, v_n$

Conjunto Gerado por $S$

Todas as combinações lineares dos vetores de $S$

$\operatorname{ger}(S)$

Conjunto Gerador

Se $\operatorname{ger}(S)$ tem todos os vetores de $\mathcal{V}$

$\operatorname{ger}(S)$ gera $\mathcal{V}$

$\operatorname{ger}(S)$ é conjunto gerador de $\mathcal{V}$

Adicionar vetor

Se $\operatorname{ger}(S)$ gera $\mathcal{V}$

Então $\operatorname{ger}(S \cup \left\{v\right\})$ gera $\mathcal{V}$

Remover vetor redundante

Se $\operatorname{ger}(S)$ gera $\mathcal{V}$ e $v_1 \in \operatorname{ger}(S / \left\{v_1\right\})$

Então $\operatorname{ger}(S / \left\{v_1\right\})$ gera $\mathcal{V}$

O vetor nulo é redundante

Se $\operatorname{ger}(S)$ gera $\mathcal{V}$ e $0 \in \operatorname{ger}(S / \left\{0\right\})$

Então $\operatorname{ger}(S / \left\{0\right\})$ gera $\mathcal{V}$

Subespaço Vetorial

subconjunto dos vetores que ainda é espaço vetorial

$\mathcal{W}$ é subespaço de $\mathcal{V}$ se:

• $0 \in \mathcal{W}$
• $\forall x, y \in \mathcal{W}$ temos que $ax + by \in \mathcal{W}$

Exemplos

• $\left\{0\right\}$ é subespaço de $\mathcal{V}$
• $\mathcal{V}$ é subespaço de $\mathcal{V}$
• $\left\{(a,b,0) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\}$ é subespaço de $\mathbb{R}^3$
• $\left\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a = 2b\right\}$ é subespaço de $\mathbb{R}^2$
• Se $\mathcal{W}$ e $\mathcal{Y}$ são subespaços de $\mathcal{V}$, então $\mathcal{W} \cap \mathcal{Y}$ também é
• Se $S \subset \mathcal{V}$ então $\operatorname{ger}(S)$ é subespaço de $\mathcal{V}$

(In)Dependência Linear

Vetores $v_1, \ldots, v_n$

Tem solução não trivial?

Sim! ⇒ Linearmente Dependentes

Não! ⇒ Linearmente Independentes

Teorema

$S = \left\{v_1, \ldots, v_n\right\}$

• $v_i \neq 0$ ⇒ $\left\{v_i\right\}$ é LI
• $\left\{v_i, v_j\right\}$ é LD ⇒ $v_i = a v_j$
• $v_i = 0$ ⇒ $S$ é LD
• $v_j = a v_i$ ⇒ $S$ é LD
• $S$ é LI ⇒ $S' \subseteq S$ é LI
• Se $S' \subseteq S$ é LD ⇒ $S$ é LD

Base

Conjunto de vetores LI que gera $\mathcal{V}$

Base - Definição Alternativa

$B = \left\{v_1, \ldots, v_n\right\}$ é base se

Tem uma única solução

Teorema

Toda base tem a mesma quantidade de elementos

Dimensão

$\operatorname{dim}(\mathcal{V})$: quantidade de vetores de uma base

Teoremas

$\mathcal{V}$ tem dimensão finita $n$

• Quaisquer $n + 1$ vetores são LD
• $n$ vetores LI ⇒ base
• Conjunto de $n$ vetores gerador ⇒ base

Teoremas - Continuação

$S$ é conjunto gerador de $\mathcal{V}$

• Qualquer conjunto LI máximo de $S$ é base
• Excluir sequencialmente vetores redundantes de $S$ resulta em base

Encontrando Bases

• A partir de $B \leftarrow \emptyset$ adicionar um vetor que mantenha $B$ LI e repetir até que não exista vetor que possa ser adicionado
• A partir de um conjunto gerador $B'$ remover vetores redundantes até que nenhum outro possa ser removido

Base como Coordenadas

Tem uma única solução quando $B = \{v_1, \ldots, v_m\}$