Inversa Generalizada

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Revisão

  • $A_{n \times n}$ é invertível se existe ${B}_{n \times n}$ tal que $$BA = AB = I$$
  • $A$ tem posto completo $\operatorname{posto}(A) = n$
  • $|A| \neq 0$

Sistemas Lineares

Se $A$ tem inversa então $Ax = b$ tem solução única $$x^* = A^{-1} b$$

E matrizes não quadradas?

Existe algum tipo de inversa?

Como resolver de forma direta $Ax = b$?

Motivação

$$\min {\lVert A_{m \times n}x - b\rVert}^2$$

Se $\operatorname{posto}(A) = n \leq m$, então a solução única é:

$$x^* = {(A^T A)}^{-1} A^T b$$

Queremos entender:

${(A^T A)}^{-1} A^T$ a pseudo-inversa de $A$...

Inversa Generalizada

A inversa generalizada $G_{n \times m}$ de $A_{m \times n}$ é tal que

$$AGA = A$$

E se $A$ for quadrada, qual a relação de $A^{-1}$ com $G$?

Exemplo

$A = [1 \quad 2]$

$G = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ tal que:

$$A = AGA = [1 \quad 2] \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} [1 \quad 2] = (x + 2y) \cdot [1 \quad 2]$$

Exemplo

$A = [1 \quad 2]$

$G = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ tal que:

$$[1 \quad 2] = (x + 2y) \cdot [1 \quad 2]$$

Exemplo

$A = [1 \quad 2]$

$G = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ tal que:

$$[1 \quad 2] = [x + 2y \quad 2x + 4y]$$

Exemplo

$A$ pode ter várias inversas generalizadas...

$$G = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \text{ ou } \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$$

Como calcular?

Se $A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12}\\A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}$ tem posto $r$ e $A_{11} \in \mathbb{R}^{r \times r}$ tem inversa, então

$$G = \begin{bmatrix}A^{-1}_{11} & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$$

É inversa generalizada de $A$.

Exemplo

Com os blocos separados por cores...

$$A = \begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{1} & \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{yellow}{3}\\\textcolor{cyan}{4} & \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{yellow}{6}\\\textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & 9\end{bmatrix}$$

Exemplo

$$A_{11} = \begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{1} & \textcolor{cyan}{2}\\\textcolor{cyan}{4} & \textcolor{cyan}{5}\end{bmatrix}$$
$$A^{-1}_{11} = \begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{-5/3} & \textcolor{cyan}{2/3}\\\textcolor{cyan}{4/3} & \textcolor{cyan}{-1/3}\end{bmatrix}$$

Exemplo

$$A^{-1}_{11} = \begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{-5/3} & \textcolor{cyan}{2/3}\\\textcolor{cyan}{4/3} & \textcolor{cyan}{-1/3}\end{bmatrix}$$
$$G = \begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{-5/3} & \textcolor{cyan}{2/3} & 0\\\textcolor{cyan}{4/3} & \textcolor{cyan}{-1/3} & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

Exemplo

Conferindo:

$$\begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{1} & \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{yellow}{3}\\\textcolor{cyan}{4} & \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{yellow}{6}\\\textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & 9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{-5/3} & \textcolor{cyan}{2/3} & 0\\\textcolor{cyan}{4/3} & \textcolor{cyan}{-1/3} & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{1} & \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{yellow}{3}\\\textcolor{cyan}{4} & \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{yellow}{6}\\\textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & 9\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}\textcolor{cyan}{1} & \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{yellow}{3}\\\textcolor{cyan}{4} & \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{yellow}{6}\\\textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & 9\end{bmatrix}$$

Um possível Uso

Pode ser usada para encontrar uma solução de sistemas consistentes $Ax = b$

Se $AGA = A$, então $x^* = Gb$ é solução

$$\begin{align*}Ax &= b\\(AG)Ax &= (AG)b\\(AGA)x &= A(Gb)\\Ax &= A(Gb)\end{align*}$$

Matriz de Projeção

$P$ é matriz de projeção se $P = P^2$

O determinante é sempre igual à $0$ ou $1$

$\operatorname{det}(P) = \operatorname{det}(P^2) = \operatorname{det}{{(P)}^2}$

Matriz de Projeção

$Px \in \operatorname{Col}(P)$

Além disso se $v \in \operatorname{Col}(P)$ então $Pv = v$

$AG$ é Matriz de Projeção

Seja $A_{m \times n}$ e $G_{n \times m}$ tal que $AGA = A$, então $AG$ é uma matriz de projeção

$GA$ também é matriz de projeção

Propriedades

$AG$ tem mesmo espaço coluna de $A$

$GA$ tem mesmo espaço linha de $A$

Pesudoinversa

$B_{n \times m}$ é pseudoinversa de $A_{m \times n}$ se:

  • $ABA = A$, $B$ é inversa generalizada de $A$
  • $BAB = B$
  • ${(AB)}^T = AB$, $AB$ é simétrica
  • ${(BA)}^T = BA$

Observações sobre Pseudoinversa

  • Para cada matriz $A$ a pseudoinversa existe e é única
  • A pseudoinversa também é chamada de inversa de Moore-Penrose
  • Pela definição simétrica $B = A^\dagger$ e $A = B^\dagger$, logo $A = {(A^\dagger)}^\dagger$

Desafio

Encontre a pseudo-inversa do primeiro exemplo!

Fim