Matrizes Inversas

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Matriz Inversa

$$A A^{-1} = I$$
$$A^{-1} A = I$$

$A^{-1}$ é a inversa de $A$

Nem toda matriz tem a inversa

Condições Necessárias

$A$ quadrada

Não ter linha nula

Não ter coluna nula

Nomenclatura

$A$ tem inversa

$A$ é não-singular

Usos da Inversa

Resolver Sistema

$$Ax = b$$
$$A^{-1}Ax = A^{-1}b$$
$$Ix = A^{-1}b$$
$$x = A^{-1}b$$

Mais Usos

$$Ax = b, Ax = b', Ax = b''$$
$$A = LU$$
$$Ux = \textcolor{magenta}{L^{-1}b}, Ux = \textcolor{magenta}{L^{-1}b'}, Ux = \textcolor{magenta}{L^{-1}b''}$$

Propriedades

  • ${(A^{-1})}^{-1} = A$
  • ${(AB)}^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
  • ${(A^{-1})}^T = {(A^T)}^{-1}$
  • A inversa de uma matriz é única

Fim