Matrizes

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Matrizes

Uma disposição retangular dos elementos de um corpo

$$\begin{bmatrix} 1 & -7 & \pi \\ -2 & 0.5 & 0 \\ 2 & 3 & 1/3\end{bmatrix}$$

Exemplos

$$\begin{bmatrix} 1 & -7 & \pi \\ -2 & 0.5 & 0 \\ 2 & 3 & 1/3\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}1 & 4 & -1\end{bmatrix}\qquad \begin{bmatrix}1 \\ -5 \\ e\end{bmatrix} $$

Notação

Letras maiúsculas $A_{\textcolor{magenta}{n} \times \textcolor{cyan}{m}}$

$\textcolor{magenta}{n}$ quantidade de linhas

$\textcolor{cyan}{m}$ quantidade de colunas

Matriz Genérica

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\ \end{bmatrix}$$

Elementos

São os componentes da matriz

$a_{\textcolor{magenta}{i}\textcolor{cyan}{j}}$ indica o elemento na linha $\textcolor{magenta}{i}$ coluna $\textcolor{cyan}{j}$

Nomenclatura

  • O tamanho são os números de linhas e colunas
  • Só uma linha é matriz linha
  • Só uma coluna é matriz coluna
  • Vetores serão sempre matrizes colunas

Igualdade

$A$ e $B$ são iguais se tem:

  • mesmas linhas
  • mesmas colunas
  • mesma ordem pra tudo

Soma de matrizes

Dadas $A_{\textcolor{magenta}{n} \times \textcolor{cyan}{m}}$ e $B_{\textcolor{magenta}{n} \times \textcolor{cyan}{m}}$

$$ A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} $$

Exemplo

$$\begin{align*}\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 2 & -8\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 5\\ 4 & -2\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 + (-2) & 7 + 5 \\ 2 + 4 & -8 + (-2)\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 12\\ 6 & -10\\ \end{bmatrix}\end{align*}$$

Multiplicação por escalar

Dado $A_{n \times m}$ e $k$

$$ kA = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} & k a_{13} & \dots & k a_{1n}\\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} & \dots & k a_{2n}\\ k a_{31} & k a_{32} & k a_{33} & \dots & k a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ k a_{m1} & k a_{m2} & k a_{m3} & \dots & k a_{mn} \end{bmatrix} $$

Exemplo

$$ 5 \begin{bmatrix} 3 & 7\\ 2 & -8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 3 & 5 \cdot 7\\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot (-8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 35\\ 10 & -40 \end{bmatrix}$$

Propriedades

  • $(A + B) + C = A + (B + C)$
  • $A + B = B + A$
  • $A_{n \times m} + 0_{n \times m} = A_{n \times m}$
  • $A + -1A = 0$
  • $k(A + B) = kA + kB$
  • $(k + y)A = kA + yA$
  • $(ky)A = k(yA)$
  • $1A = A$

Transposta

transpor uma matriz é trocar linhas por colunas

$$A = \begin{bmatrix}\textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{3} & \textcolor{magenta}{4}\\ \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{cyan}{6} & \textcolor{cyan}{7} & \textcolor{cyan}{8}\\ \textcolor{blue}{9} & \textcolor{blue}{10} & \textcolor{blue}{11} & \textcolor{blue}{12}\end{bmatrix}$$
$$A^T = \begin{bmatrix} \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{cyan}{5} & \textcolor{blue}{9}\\ \textcolor{magenta}{2} & \textcolor{cyan}{6} & \textcolor{blue}{10}\\ \textcolor{magenta}{3} & \textcolor{cyan}{7} & \textcolor{blue}{11}\\ \textcolor{magenta}{4} & \textcolor{cyan}{8} & \textcolor{blue}{12} \end{bmatrix}$$

Observações

${(A^T)}^T = A$

${(A + B)}^T = A^T + B^T$

Multiplicação Matricial

$$A_{\textcolor{magenta}{n} \times \textcolor{cyan}{p}} B_{\textcolor{cyan}{p} \times \textcolor{blue}{m}} = C_{\textcolor{magenta}{n} \times \textcolor{blue}{m}}$$
$$c_{ij} = \sum_{k = 1}^p a_{ik} \cdot b_{kj}$$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{3} & \textcolor{magenta}{4}\\ 6 & 7 & 8 & 9\\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{cyan}{1} & 5\\ \textcolor{cyan}{2} & 6\\ \textcolor{cyan}{3} & 7\\ \textcolor{cyan}{4} & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{c_{11}} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{\textcolor{magenta}{1}\textcolor{cyan}{1}} = \textcolor{magenta}{1} \cdot \textcolor{cyan}{1} + \textcolor{magenta}{2} \cdot \textcolor{cyan}{2} + \textcolor{magenta}{3} \cdot \textcolor{cyan}{3} + \textcolor{magenta}{4} \cdot \textcolor{cyan}{4} = 30 $$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{3} & \textcolor{magenta}{4}\\ 6 & 7 & 8 & 9\\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \textcolor{cyan}{5}\\ 2 & \textcolor{cyan}{6}\\ 3 & \textcolor{cyan}{7}\\ 4 & \textcolor{cyan}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & \textcolor{red}{c_{12}}\\ c_{21} & c_{22}\\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{\textcolor{magenta}{1}\textcolor{cyan}{2}} = \textcolor{magenta}{1} \cdot \textcolor{cyan}{5} + \textcolor{magenta}{2} \cdot \textcolor{cyan}{6} + \textcolor{magenta}{3} \cdot \textcolor{cyan}{7} + \textcolor{magenta}{4} \cdot \textcolor{cyan}{8} = 70 $$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ \textcolor{magenta}{6} & \textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & \textcolor{magenta}{9}\\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{cyan}{1} & 5\\ \textcolor{cyan}{2} & 6\\ \textcolor{cyan}{3} & 7\\ \textcolor{cyan}{4} & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 70\\ \textcolor{red}{c_{21}} & c_{22}\\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{\textcolor{magenta}{2}\textcolor{cyan}{1}} = \textcolor{magenta}{6} \cdot \textcolor{cyan}{1} + \textcolor{magenta}{7} \cdot \textcolor{cyan}{2} + \textcolor{magenta}{8} \cdot \textcolor{cyan}{3} + \textcolor{magenta}{9} \cdot \textcolor{cyan}{4} = 80 $$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ \textcolor{magenta}{6} & \textcolor{magenta}{7} & \textcolor{magenta}{8} & \textcolor{magenta}{9}\\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \textcolor{cyan}{5}\\ 2 & \textcolor{cyan}{6}\\ 3 & \textcolor{cyan}{7}\\ 4 & \textcolor{cyan}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 70\\ 80 & \textcolor{red}{c_{22}}\\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{\textcolor{magenta}{2}\textcolor{cyan}{2}} = \textcolor{magenta}{6} \cdot \textcolor{cyan}{5} + \textcolor{magenta}{7} \cdot \textcolor{cyan}{6} + \textcolor{magenta}{8} \cdot \textcolor{cyan}{7} + \textcolor{magenta}{9} \cdot \textcolor{cyan}{8} = 200 $$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 6 & 7 & 8 & 9\\ \textcolor{magenta}{11} & \textcolor{magenta}{12} & \textcolor{magenta}{13} & \textcolor{magenta}{14} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{cyan}{1} & 5\\ \textcolor{cyan}{2} & 6\\ \textcolor{cyan}{3} & 7\\ \textcolor{cyan}{4} & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 70\\ 80 & 200\\ \textcolor{red}{c_{31}} & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{\textcolor{magenta}{3}\textcolor{cyan}{1}} = \textcolor{magenta}{11} \cdot \textcolor{cyan}{1} + \textcolor{magenta}{12} \cdot \textcolor{cyan}{2} + \textcolor{magenta}{13} \cdot \textcolor{cyan}{3} + \textcolor{magenta}{14} \cdot \textcolor{cyan}{4} = 120 $$

Exemplo

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 6 & 7 & 8 & 9\\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5\\ 2 & 6\\ 3 & 7\\ 4 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 70\\ 80 & 200\\ 120 & c_{32} \end{bmatrix} $$
$$ c_{32} = \textnormal{Sua vez!} $$

Observações

A multiplicação não é comutativa

$A_{3 \times 2} B_{2 \times 5}$

Tente fazer $B_{5 \times 2} A_{3 \times 2}$

Mesmo quando dá?

A multiplicação não é comutativa

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\\ \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$$

Veja por sí próprio

Propriedades

  • $(AB)C = A(BC)$
  • $A(B + C) = AB + AC$
  • $(A + B)C = AC + BC$
  • $k(AB) = (kA)B = A(kB)$
  • $A0 = 0$
  • $0A = 0$

Matriz Notável

tem características que são bastante usadas ou aparecem com frequência nos problemas abordados

Nomenclatura

Diagonal
Elementos $a_{ij}$ com $i = j$
Abaixo da Diagonal
Elementos $a_{ij}$ com $i > j$
Acima da Diagonal
Elementos $a_{ij}$ com $i < j$

Quadrada

Número de linhas e colunas iguais

Identidade

$I_n$ é a matriz quadrada de tamanho $n \times n$ em que todos os elementos da diagonal são $1$ e fora dela são $0$

$$I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

Escalar

qualquer matriz na forma $k I_n$

$$3 I_3 = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$$

Diagonal

matriz quadrada de tamanho $n \times n$ em que todos os elementos fora da diagonal $0$

$$\begin{bmatrix}7 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$$
$$a_{ij} = 0, \forall i \neq j$$

Triangular Superior

matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal são zero

$$\begin{bmatrix}7 & 2 & 0\\ 0 & 0 & \pi\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$a_{ij} = 0, \forall i > j$$

Triangular Inferior

matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal são zero

$$\begin{bmatrix}7 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}$$
$$a_{ij} = 0, \forall i < j$$

Simétrica

matriz quadrada em que $A = A^T$

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & \pi & 2\\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}$$

Ortogonais

matriz quadrada em que $A A^T = I = A^T A$

$$\begin{bmatrix}1/9 & 8/9 & -4/9\\ 4/9 & -4/9 & -7/9\\ 8/9 & 1/9 & 4/9\end{bmatrix}$$

Transformação Linear

$F(x) = y$ com

$$F(ax + by) = aF(x) + bF(y)$$

Toda matriz define uma transformação linear!

$$F(x) = Ax$$

Espaço Nulo

$$\operatorname{nul}(A) = \left\{x \mid Ax = 0\right\}$$
$$\operatorname{nul}(A) = \operatorname{nuc}(A)$$

Espaço Coluna

$$\operatorname{col}(A) = \left\{y \mid \exists x, Ax = y\right\}$$
$$\operatorname{col}(A) = \operatorname{img}(A)$$

Mudança de Base

Se $B = \left\{b_1, b_2, \ldots, b_n\right\}$ é base

Se $C = \left\{c_1, c_2, \ldots, c_n\right\}$ é base

Só existe uma $A$ tal que

$$A b_1 = c_1, \ldots, A b_n = c_n$$

Fim