Posto - Coluna
número de colunas linearmente independentes de uma matriz $A$
Posto - Linha
número de linhas linearmente independentes de uma matriz $A$
Posto Completo
Matriz que tem todas as linhas/colunas linearmente independentes
Exemplos
$$I_{n \times n}$$
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6
\end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 4\\ 0
& 0 & 0 \end{bmatrix}$$
posto linha e colunas são $3$ para $I$ e $A$ e $2$ para $B$...
Igualdade
pode o posto linha ser diferente do coluna?
Veremos...
Operação Elementar e Posto Linha
Operações Elementares não mudam o posto linha de uma matriz
Eliminação e Posto
Executar a eliminação de Gauss em uma matriz não muda o posto
linha...
O resultado é uma matriz em forma escalonada...
Eliminação e Posto
Um exemplo $3 \times 5$
$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6\\ 0 & 0 &
0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Posto linha é $3$
Posto coluna é $3$
Matriz na Forma Canônica
A quantidade de pivôs mostra quantas linhas são LI
A quantidade de pivôs mostra quantas colunas são LI
A quantidade de pivôs é igual
Teorema Fundamental
O posto de $A$
- dimensão do espaço linha de $A$
- dimensão do espaço coluna de $A$
-
a quantidade de pivôs na forma escalonada
O posto linha e coluna de $A$ são iguais
Sistemas Lineares
$$Ax = b \qquad M = \begin{bmatrix}A \quad b\end{bmatrix}$$
$$\operatorname{posto}(A) = \operatorname{posto}(M)$$
Sistema consistente
Sistemas Lineares
$$Ax = b \qquad M = \begin{bmatrix}A \quad b\end{bmatrix}$$
$$\operatorname{posto}(A) < \operatorname{posto}(M)$$
Sistema inconsistente
Sistemas Lineares
$$A_{m \times n}x = b \qquad M = \begin{bmatrix}A \quad
b\end{bmatrix}$$
$$\operatorname{posto}(A) = n$$
Sistema tem no máximo uma solução
Sistemas Lineares
$$A_{m \times n}x = b \qquad M = \begin{bmatrix}A \quad
b\end{bmatrix}$$
$$\operatorname{posto}(A) < n$$
Sistema com infinitas ou nenhuma solução
Equivalência
$A$ e $B$ são equivalentes se operações elementares transformam
uma na outra
Operações como Matrizes
Trocar $L_i$ com $L_j$
Exemplo $5 \times 5$ e $L_3 \leftrightarrow L_5$
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}$$
Operações como Matrizes
$$L_i \leftarrow kL_i$$
Exemplo $5 \times 5$ e $L_3 \leftarrow 5L_3$
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
5 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}$$
Operações como Matrizes
$$L_i \leftarrow L_i - k L_j$$
Exemplo $5 \times 5$ e $L_3 \leftarrow L_3 + 2 L_4$
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &
1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}$$
Eliminação e Operações
O método de Gauss para resolver $Ax = b$ pode ser visto como
$$E_k\cdots E_3E_2E_1 Ax = E_k\cdots E_3E_2E_1 b$$
$E_i$ representa uma operação elementar
Soluções de Sistemas
Duas matrizes aumentadas tem a mesma solução se são equivalentes
$Ax = b$ sempre tem solução se $A$ é equivalente à $I$