Sistemas Lineares

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Equação Linear

Pode ser escrita como

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b$$
  • $x_i$ variáveis
  • $a_i$ coeficientes
  • $b$ termo independente

Sistema de Equações

Conjunto de equações lineares

$$\left\{\begin{matrix} 3x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &=& 0\\ -x_1 &+& 0x_2 &-& x_3 &=& 1\\ \pi x_1 &-& e^{10}x_2 &+& 3x_3 &=& 10\end{matrix}\right.$$

Solução

Escolher valores para $x_i$ resolvendo tudo simultaneamente

$$\left\{\begin{matrix} 1x_1 &+& 2x_2 &=& 0\\ 2x_1 &+& 10x_2 &=& 0\\ 10 x_1 &+& 10x_2 &=& 0\\ -2 x_1 &-& 1x_2 &=& 0\end{matrix}\right.$$

uma solução: $x_1 = x_2 = 0$

Classificação de Sistemas

Inconsistente
Nenhuma solução
Consistente
Com solução Única ou Infinitas

É possível ter um número $k > 1$ de soluções?

Representação como Matriz

$$\left\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} &+& a_{12} x_{2} &+& a_{13} x_{3} &=& b_{1}\\ a_{21} x_{1} &+& a_{22} x_{2} &+& a_{23} x_{3} &=& b_{2}\\ a_{31} x_{1} &+& a_{32} x_{2} &+& a_{33} x_{3} &=& b_{3}\\ a_{41} x_{1} &+& a_{42} x_{2} &+& a_{43} x_{3} &=& b_{4}\end{matrix}\right.$$

Representação como Matriz

$$\begin{align*}A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{bmatrix} \quad x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \quad b = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{bmatrix}\end{align*}$$

Representação como Matriz

$$Ax = b $$

Mesmo problema, mas mais fácil de escrever!

Equação Degenerada

$$0^T x = b$$

Se o sistema tem uma desse tipo:

  • $b \neq 0$ ⇒ inconsistente
  • $b = 0$ ⇒ pode ignorar a equação

Nomenclatura

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots + a_n x_n = b$$

Primeiro $a_i \neq 0$ ⇒ $x_i$ incógnita líder

$a_i$ é o pivô

Nomenclatura

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots + a_n x_n = b$$

Se $x_i$ não tem pivô ⇒ $x_i$ é variável livre

$b$ é termo independente

Exemplo

$$\left\{\begin{matrix}\textcolor{magenta}{1}x_1 + 3x_2 - 4\textcolor{cyan}{x_3} + 0x_4 &=& 2\\ 0x_1 + \textcolor{magenta}{2}x_2 + 1\textcolor{cyan}{x_3} + 8x_4 &=& -1\\ 0x_1 + 0x_2 + 0\textcolor{cyan}{x_3} + \textcolor{magenta}{5}x_4 &=& 5\\ 0x_1 + 0x_2 + 0\textcolor{cyan}{x_3} + 0x_4 &=& 2\end{matrix} \right.$$

pivô

variável livre

Exemplo

$$\begin{bmatrix}\textcolor{magenta}{1} & 3 & -4 & 0\\ 0 & \textcolor{magenta}{2} & 1 & 8\\ 0 & 0 & 0 & \textcolor{magenta}{5}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \textcolor{cyan}{x_3}\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 5\\ 2 \end{bmatrix}$$

pivô

variável livre

Matriz Escalonada

Linhas nulas agrupadas na parte de baixo

Todo pivô está à direita dos que vem antes

Exemplo(s)

$$ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 & 16\\ 0 & 0 & 32 & 64\\ 0 & 0 & 0 & 128\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Forma Canônica

  • É escalonada
  • Todo pivô é $1$
  • Acima de cada pivô é tudo zero!

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Exemplo(s)

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$