Pivoteamento e Substituição Reversa

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Substituição Reversa

Matriz Aumentada

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4 & 5\\0 & 1 & 1 & -7 & -7\\0 & 0 & -1 & 7 & 7\end{bmatrix}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

Se $a_{ij}$ é o pivô de $x_j$

$$x_j = \frac{b_i - \sum_{k > j} a_{ik}x_k}{a_{ij}}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$a_{33}$ é o pivô de $x_3$

$$x_3 = \frac{b_3 - \sum_{k > 3} a_{3k}x_k}{a_{33}}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$a_{33}$ é o pivô de $x_3$

$$x_3 = \frac{-7 - 7x_4}{-1}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$a_{33}$ é o pivô de $x_3$

$$x_3 = 7 + 7x_4$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$a_{22}$ é o pivô de $x_2$

$$x_2 = \frac{b_2 - \sum_{k > 2} a_{2k}x_k}{a_{22}}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$1$ é o pivô de $x_2$

$$x_2 = \frac{-7 - (x_3 - 7x_4)}{1}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$1$ é o pivô de $x_2$

$$x_2 = \frac{-7 - (7 + 7x_4 - 7x_4)}{1}$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$

$1$ é o pivô de $x_2$

$$x_2 = -14$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$
$$x_1 = 5 - x_2 + 2x_3 - 4x_4$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$
$$x_1 = 5 + 14 + 2(7 + 7x_4) - 4x_4$$

Substituição Reversa

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 4\\0 & 1 & 1 & -7\\0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\-7\\-7\end{bmatrix}$$
$$x_1 = 33 + 10x_4$$

Conjunto Solução

$$ \left\{ \begin{bmatrix} 33 + 10a\\ 14\\ 7 + 7a\\ a \end{bmatrix} : a \in \mathbb{R} \right\} $$

Pivoteamento

                                
                                    def escalona(M, m, n):
                                        i = 0
                                        j = 0
                                        while i < m - 1 and j < n:
                                            k = i + 1
                                            if M[i][j] == 0:
                                                return "Erro"
                                            else:
                                                while k <= m - 1 and k <= n - 1:
                                                    elimina(M[k], M[i], M[i][j])
                                                    k = k + 1
                                                i = i + 1
                                                j = j + 1
                                        return M

Pivoteamento

                                
                                    if M[i][j] == 0:
                                        return "Erro"

Pivoteamento

                                
                                    if M[i][j] == 0:
                                        y = i + 1
                                        while y < m:
                                            if M[y][j] != 0:
                                                troca(M[i], M[y])
                                                break
                                        else:
                                            j = j + 1

Pivoteamento

Se o candidato é $0$, procura outro abaixo...

Se encontrar troca as linhas de lugar...

Se não encontrar passa pra proxima coluna...

Observações

Sistema Homogêneo
$b = 0$
Solução Trivial
$x = 0$

Homogêneo sempre tem solução trivial

Solução não trivial só se tem variável livre

Fim