Operação Elementar

Trocar linhas $i$ com $j$

$E(A, i, j)$

Multiplicar linha $i$ por $k$

$E'(A, i, k)$

Combinar linha $i$ com $k$ vezes a $j$

$E''(A, i, j, k)$

Determinantes e Operações Elementares

Derterminante e Solução de Sistema

Use gauss para escalonar $A$ gerando $A'$...

$|E(A, i, j)|$ não ser zero...

$|E'(A, i, k)|$ com $k \neq 0$ ser zero...

$|E''(A, i, j, k)|$ não pode ser zero...

$|A'| \neq 0$

Se $|A| = 0$

$|E(A, i, j)|$ continua zero...

$|E'(A, i, k)|$ com $k \neq 0$ continua zero...

$|E''(A, i, j, k)|$ continua zero...

$|A'| = 0$

Resumindo

$A'$ gerada pela eliminação de Gauss em $A$

$|A| = 0$ ⇒ $|A'| = 0$

$|A| \neq 0$ ⇒ $|A'| \neq 0$

Determinante e Variáveis Livres

$A'$ é quadrada e escalonada...

$A'$ é triangular superior...

$|A'| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Sistema Homogêneo e Determinantes

$Ax = 0$ tem pelo menos uma solução

$|A| = 0$ ⇆ $Ax = 0$ tem infinitas soluções

$|A| \neq 0$ ⇆ $Ax = 0$ tem uma solução