Transformações Lineares

Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares

Transformação Linear

Dois espaços vetoriais $\mathcal{V}$ e $\mathcal{U}$

$F: \mathcal{V} \to \mathcal{U}$

  • $\forall v, w \in \mathcal{V}$, temos $F(v + w) = F(v) + F(w)$
  • $\forall v \in \mathcal{V}$, temos $F(av) = aF(v)$

Exemplos

  • $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ e $F((a, b, c)) = (a, b, 0)$
  • $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ e $F((a, b)) = (2a, b)$
  • $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ e $F((a, b, c)) = (c, b ,a)$
  • $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ e $F((a, b , c)) = (a, c)$

Propriedades

Linearidade

$$F(av + bu) = aF(v) + bF(u)$$

Observação

$$F(0) = 0$$

Teorema

$B_v = \left\{v_1, \ldots, v_n\right\}$ base de $\mathcal{V}$

$B_u = \left\{u_1, \ldots, u_n\right\}$ base de $\mathcal{U}$

Existe uma única $F: \mathcal{V} \to \mathcal{U}$

$$F(v_1) = u_1, F(v_2) = u_2, \ldots, F(v_n) = u_n$$

Núcleo

Os vetores que resultam no vetor nulo zero

$$\operatorname{nuc}(F) = \left\{v \mid F(v) = 0\right\}$$

Imagem

Os resultados aplicados em algum vetor

$$\operatorname{img}(F) = \left\{u \mid \exists v, F(v) = u\right\}$$

Teoremas

Núcleos Imagens e Subespaços

$F: \mathcal{V} \to \mathcal{U}$ é TL

$\operatorname{nuc}(F)$ é subespaço de $\mathcal{V}$

$\operatorname{img}(F)$ é subespaço de $\mathcal{U}$

Geração

$F: \mathcal{V} \to \mathcal{U}$ é TL

Se $\operatorname{ger}(\{v_1, \ldots, v_n\}) = \mathcal{V}$

Então $\operatorname{ger}(\{F(v_1), \ldots, F(v_n)\})$ gera $\operatorname{img}(F)$

Fim