Vetores
Para a disciplina de Álgebra Linear e Matricial por Ronan Soares
Corpo
Conjunto com soma e multiplicação
- Fechamento
- Associatividade
- Comutatividade
- Elementos neutros zero e um
- Elementos opostos para soma e multiplicação
- Distributividade da multiplicação em relação à soma
Fechamento
O resultado da soma e o resultado da multiplicação são elementos do conjunto
Associatividade
$$(a + b) + c = a + (b + c)$$
$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$
Comutatividade
$$a + b = b + a$$
$$a \cdot b = b \cdot a$$
Elementos Neutros
$$a + 0 = a$$
$$a \cdot 1 = a$$
Elementos Opostos
$$a + (-a) = 0$$
$$a \cdot a^{-1} = 1$$
Distributividade da Multiplicação em Relação à Soma
$$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$$
Escalar
Elemento de um Corpo
Exemplos
- $\mathbb{Q}$ números racionais
- $\mathbb{R}$ números reais
- $\mathbb{C}$ números complexos
Vetor
Sequencia de elementos de um corpo
Notação
$$\begin{pmatrix}a, b, c, d, \ldots, n\end{pmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}a \; b \; c \; d \; \ldots \; n\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} a\\ b\\ \vdots \\ n \end{bmatrix}$$
Linha/Coluna
Vetor Linha
$$\begin{bmatrix}a \; b \; c \; d \; \ldots \;
n\end{bmatrix}$$
Vetor Coluna
$$\begin{bmatrix} a\\ b\\ \vdots\\ n \end{bmatrix}$$
Vetor Nulo
Todas as suas coordenadas ou componentes são $0$
$0_n$ tem $n$ coordenadas zero
$0_3 = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$
Vetor Genérico
$$x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \vdots\\
x_n\end{bmatrix}$$
Igualdade
$$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_m\end{bmatrix}$$
$x$ é igual à $y$
- $n = m$
- $\forall i (x_i = y_i)$
Soma de Vetores
$$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_1 + y_1\\ x_2 + y_2\\ \vdots\\ x_n +
y_n\end{bmatrix} $$
Mesmo número de coordenadas!
$$\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\\
-1\\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 4\\ 2 + (-1)\\ 1 +
3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\ 1\\ 4\end{bmatrix} $$
$$\begin{bmatrix} 3\\ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\\ -1\\
3\end{bmatrix} = \textnormal{ Indefinido!} $$
Número de coordenadas diferentes!
Multiplicação por Escalar
$$c \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} c \cdot x_1\\ c \cdot x_2\\ \vdots\\ c \cdot
x_n\end{bmatrix} $$
$c$ é um escalar!
$$2 \cdot \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ -1\\ -2\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2\\ 2 \cdot (-1)\\ 2 \cdot
(-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\ 4\\ -2\\ -4\end{bmatrix} $$
Propriedades
- $(x + y) + w = x + (y + w)$
- $x + 0 = x$
- $x + (-1 \cdot x) = 0$
- $x + y = y + x$
- $c \cdot (x + y) = c \cdot x + c \cdot y$
- $(c + d) \cdot x = c \cdot x + d \cdot x$
- $(c \cdot d) \cdot x = c \cdot (d \cdot x)$
Visão Geométrica
Plano Cartesiano
Vetor no Plano
$$\textcolor{red}{\begin{bmatrix}-2\\4\end{bmatrix}} \qquad
\textcolor{cyan}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}$$
$$\textcolor{blue}{\begin{bmatrix}-3\\-4\end{bmatrix}} \qquad
\textcolor{magenta}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}$$
Soma de Vetores
$$\textcolor{cyan}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}} +
\textcolor{magenta}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}} =
\textcolor{red}{\begin{bmatrix}5\\-1\end{bmatrix}}$$
Multiplicação por Escalar
$$2 \cdot \textcolor{cyan}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}} =
\textcolor{magenta}{\begin{bmatrix}4\\4\end{bmatrix}}$$
Produto Interno
$$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{bmatrix} = \sum_{i =
1}^{n} \left(x_i \cdot y_i\right)$$
$$\begin{bmatrix}3\\ -2\\ 1\\ 0\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}2\\ -2\\ 0\\ 3\end{bmatrix} =$$
$$=\left(3 \cdot 2\right) + \left( (-2) \cdot (-2) \right) +
\left( 1 \cdot 0 \right) + \left( 0 \cdot 3 \right) =$$
$$= 6 + 4 + 0 + 0 = 10$$
Propriedades
- $(x + y) \cdot w = x \cdot w + y \cdot w$
- $(c \cdot x) \cdot y = c \cdot (x \cdot y)$
- $x \cdot y = y \cdot x$
- $x \cdot x = 0 \leftrightarrow x = 0$
Ortogonalidade
$x$ é ortogonal à $y$ se e somente se $x \cdot y = 0$
Norma
$$\left\lVert x \right\rVert = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots +
x_n^2}$$
É o tamanho euclidiano do vetor
$$\left\lVert\begin{bmatrix}3\\ 4\end{bmatrix}\right\rVert =
\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$
Observações
- ${\left\lVert x \right\rVert}^2 = x \cdot x$
- Se $\left\lVert x \right\rVert = 1$, $x$ é unitário
- $\frac{1}{\left\lVert x \right\rVert} \cdot x$ é sempre unitário
- A distância de $x$ até $y$ é $\left\lVert x - y \right\rVert$
Combinação Linear
Soma de vetores multiplicados por escalares
$$ax + by + cz$$
$a$, $b$, $c$ escalares
$x$, $y$, $z$ vetores compatíveis