Para a disciplina de Fundamentos de Estatística por Ronan Soares
Mas e agora?
De todas as retas: \(bx + a = y\) qual escolher?
Escolher \(a\) e \(b\) de modo que o erro seja mínimo?
\[b x_1 + a \neq y_1\]
\(e_1 = y_1 - b x_1 - a\)
\[\textnormal{minimizar} \sum_{i = 1}^n e_i\]
Erro negativo anula positivo...
Escolher \(a\) e \(b\) de modo que a soma os quadrados dos erros sejam mínimos?
\[\textnormal{minimizar} \sum_{i = 1}^n e_i^2\]
Soma dos erros
\[\sum_{i = 1}^n (y_i - b x_i - a)^2\]
Usando cálculo diferencial descobrimos \(a\) e \(b\):
\[\begin{align*} a &= \bar{y} - b \bar{x}\\ b &= \frac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}\]
Dados \((x,y)\):
Dados \((x,y)\):
\[\bar{x} = \frac{-40-20+10+30+40}{5} = 4\]
\[\bar{y} = \frac{-20-20+15+25+40}{5} = 8\]
\[\begin{align*} a &= \bar{y} - b \bar{x}\\ b &= \frac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2} \end{align*}\]
Dados \((x,y)\):
\(\bar{x} = 4 \qquad \bar{y} = 8\)
\[\begin{align*} a &= 8 - 4b\\ b &=\frac{\sum_{i = 1}^n (x_i - 4)(y_i - 8)}{\sum_{i = 1}^n (x_i - 4)^2} \end{align*}\]
Dados \((x,y)\):
\[\begin{align*} a &= \frac{550}{113}\\ b &= \frac{177}{226} \end{align*}\]
\(a = \frac{550}{113} \qquad b = \frac{177}{226}\)
Equação final:
\[\begin{align*} y&= bx + a\\ &\downarrow\\ y &= \frac{177}{226}x + \frac{550}{113} \end{align*}\]