Testes de Hipóteses

Para a disciplina de Fundamentos de Estatística por Ronan Soares

Conceitos Inciais

Hipótese: Afirmação sobre a população.

Teste de Hipótese: Técnica para testar a afirmação.

Hipótese

Afirmação sobre a população.

Hipótese

Afirmação sobre alguma propriedade da população.

Exemplo: A temperatura corporal média do ser humano é de 37°.

Hipótese

Afirmação sobre alguma propriedade da população.

Exemplo: A proporção de brasileiros que celebram festas juninas é maior que 30%.

Hipótese

Hipótese nula \((H_0)\): Hipótese que se quer confirmar.

Hipótese alternativa \((H_1)\): Hipótese alternativa para comparar com \(H_0\).

Teste de Hipótese(s)

Procedimento geral

  1. Elaborar a(s) hipótese(s).
  2. Realizar o teste.
  3. Confirmar ou rejeitar a(s) hipótese(s).

Qual a chance de errar?

Erro

  • Tipo 1: A hipótese nula é rejeitada sendo verdadeira.
  • Tipo 2: A hipótese nula é aceita sendo falsa.

Prioridade

Nem todo erro tem a mesma relevância.

Hipótese: ter uma doença.

Tipo 1: Estar doente e o exame dar negativo.

Tipo 2: Não estar doente e o exame dar positivo.

Exemplo: Um moeda é equilibrada?

  1. Elaborar hipótese.
    • Hipótese \(H_0\): cara sai no máximo 50% das vezes.
    • Hipótese \(H_1\): cara sai pelo menos 70% das vezes.
  2. Realizar teste.
    • Jogar a moeda 30 vezes e verificar a proporção de caras.
    • Decidir aceitar ou rejeitar \(H_0\), como!?
    • Qual a probabilidade dos erros Tipo 1 e Tipo 2?

Exemplo: Um moeda é equilibrada?

\(\hat{p}\): a proporção de caras obtidas.

\(p\): a real chance de sair cara na moeda.

Pelo Teorema Central do Limite: \[\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{p(1 - p)/30}\right)\]

Exemplo: Um moeda é equilibrada?

\[\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{p(1-p)/30}\right)\]

Supondo \(H_0\): \(\hat{p} \sim N\left(0.5, \sqrt{0.5 \cdot 0.5 / 30}\right)\)

Supondo \(H_1\): \(\hat{p} \sim N\left(0.7, \sqrt{0.7 \cdot 0.3 / 30}\right)\)

Exemplo: Um moeda é equilibrada?

Se \(H_0\) é verdadeira: \(\hat{p} \sim N\left(0.5, 0.091\right).\)

Se \(H_1\) é verdadeira: \(\hat{p} \sim N\left(0.7, 0.084\right).\)

Vamos escolher 20 caras em 30 como ponto de corte.

\(\hat{p} \leq 20/30\): aceita \(H_0\) e rejeita \(H_1\).

\(\hat{p} > 20/30\): rejeita \(H_0\) e aceita \(H_1\).

Exemplo: Um moeda é equilibrada?

Calculando:

Se \(H_0\) é verdadeira: \(P(\hat{p} \leq 20/30) \approx 0.98\)

Erro Tipo 1: \(P(\hat{p} > 20/30) \approx 0.02\)

Se \(H_1\) é verdadeira: \(P(\hat{p} > 20/30) \approx 0.59\)

Erro Tipo 2: \(P(\hat{p} \leq 20/30) \approx 0.41\)

O que fica faltando:

  • Como escolher um bom ponto de corte?
  • Amostra de tamanho pequena?
  • Desvio padrão desconhecido?
  • E se for a média?

Mais informações em Fundamentos de Estatística.