Probabilidade
Probabilidade é uma técnica matemática para se tentar estimar resultados de processos incertos.
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou desconhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como sorte, risco, azar, chance, incerteza, duvidoso, dependendo do contexto inseridas á língua portuguesa e na linguagem matemática.
Retirado da Wikipedia.
No contexto de estatística, a probabilidade será usada como uma ferramentas para se medir uma estimação ou testar uma hipótese.
Conceitos Iniciais
- Um experimento probabilístico é um procedimento em que sabe-se que existem alguns, possivelmente infinitos, resultados possíveis e que pode ser repetido infinitamente. Alem disso, a frequência relativa dos resultados deve estabilizar com o aumento de realizações do experimento.
- Um espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
- Um evento é uma coleção de resultados possíveis.
- Um evento simples é um único resultado.
Notação Matemática
- O espaço amostral é normalmente denotado por $\Omega$, leia-se ômega maiúsculo.
- Um evento é normalmente denotado por uma letra em maiúsculo do alfabeto: $A, B, C$.
- A probabilidade de um evento acontecer é normalmente definida como uma função que associa eventos do espaço amostral em um valor de zero até um. Zero significando que o evento é impossível e um que o evento em questão é certeza. Normalmente a função é denotada pela letra maiuscula $P$.
Exemplo (Lançamento de Moedas)
Considere o experimento probabilístico em que uma moeda é lançada duas vezes e quando ela para no chão a face voltada para cima é visualizada em cada um dos lançamentos.
Podemos representar $\Omega$ como sendo o conjunto $\{(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)\}$. Assim, sair cara nos dois lançamentos seria representado pelo par $(K, K)$ e sair cara no primeiro lançamento e coroa no segundo pelo pelo par $(K, C)$.
Obviamente, existem outros tipos de resultado quando realizamos esse experimento na prática. Por exemplo, alguém pode passar correndo e levar a moeda antes dela cair no chão, mas utilizaremos um modelo simplificado.
Seja $A$ o evento em que sai pelo menos uma cara, podemos representar $A$ como $\{(K, K), (K, C), (C, K)\}$.
A chance de $A$ acontecer ao realizar o experimento pode ser representada por $P(A)$.
Como Calcular Probabilidades
Definir $P(A)$ qualquer que seja o evento $A$ em geral é um desafio que pode ser resolvido de algumas maneiras.
- Experimentalmente: ao se realizar o experimento uma quantidade significativa de vezes, pode-se medir $$P(A) = \frac{\text{nº de vezes que } A \text{ aconteceu}}{\text{nº de testes}}$$
- Abordagem Clássica: se $\Omega$ é tal que cada elemento tem chance $1/\lvert \Omega \rvert$ de acontecer, então $$P(A) = \frac{\text{maneiras diferentes em que } A \text{ pode acontecer}}{\lvert \Omega \rvert}$$
- Subjetividade: $P(A)$ é escolhida baseada na experiência e subjetividade.
Exemplo (Lançamento de Moedas)
Se usarmos o método clássico para resolver esse problema podemos estimar $P(A)$ como $3/4 = 0.75 = 75\%$.
Manipulando Probabilidades
Se $A$ é um evento, então o evento complementar de $A$ é tudo aquilo que não está em $A$ e é denotado por $A’$.
Sejam as seguintes abreviações $P(A \cap B) = P(A \text{ e } B)$ e $P(A \cup B) = P(A \text{ ou } B)$.
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- $P(A’) = 1 - P(A)$.
- Se $A$ e $B$ são dois eventos independentes então $P(A \cap B) = P(A) P(B)$.
Probabilidade Condicional/Independência
A probabilidade condicional de um evento é obtida quando temos informações adicionais a respeito da ocorrência de outro evento.
A notação $P(B \mid A)$ pode ser lida como: a probabilidade de $B$ acontecer sabendo que $A$ aconteceu. Seu valor é $$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
Logo, $$P(B \mid A) P(A) = P(A \cap B)$$
Teorema de Bayes
Uma versão simplificada do teorema de Bayes é $$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(A) P(B \mid A) + P(A’) P( B \mid A’)}$$
Intuição/Demonstração
- Começando de $B = (B \cap A) \cup (B \cap A’)$.
- Temos que $P(B) = P((B \cap A) \cup (B \cap A’))$.
- $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A’) - P((B \cap A) \cap (B \cap A’)) = P(B \cap A) + P(B \cap A’) - 0$.
- Substituindo $P(B \cap A) = P(B \mid A) P(A)$ na a expressão acima:
- $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A’) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid A’) P(A’)$.
- $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B \mid A) P(A) + P(B \mid A’) P(A’)}$.
- Como $P(A \cap B) = P(B \mid A) P(A)$ chegamos ao resultado.