Binômios

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Binômio

$${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$${(a + b)}^n = (a + b) (a + b) (a + b) \cdots (a + b)$$

Exemplo com 3

$${(a + b)}^3 = (a + b) (a + b) (a + b)$$
$$(\textcolor{magenta}{a} + b) (\textcolor{magenta}{a} + b) (\textcolor{magenta}{a} + b) = \textcolor{magenta}{a^3}$$
$$(\textcolor{magenta}{a} + b) (\textcolor{magenta}{a} + b) (a + \textcolor{magenta}{b}) = a^3 + \textcolor{magenta}{a^2 b}$$
$$(\textcolor{magenta}{a} + b) (a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) = a^3 + \textcolor{magenta}{2a^2 b}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) (\textcolor{magenta}{a} + b) = a^3 + \textcolor{magenta}{3a^2 b}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) (\textcolor{magenta}{a} + b) = a^3 + \textcolor{magenta}{\binom{3}{1}a^2 b}$$
$$(\textcolor{magenta}{a} + b) (a + \textcolor{magenta}{b}) (a + \textcolor{magenta}{b}) = a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \textcolor{magenta}{a b^2}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) = a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \textcolor{magenta}{2a b^2}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) (a + \textcolor{magenta}{b}) = a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \textcolor{magenta}{3a b^2}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (\textcolor{magenta}{a} + b) (a + \textcolor{magenta}{b}) = a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \textcolor{magenta}{\binom{3}{2}a b^2}$$
$$(a + \textcolor{magenta}{b}) (a + \textcolor{magenta}{b}) (a + \textcolor{magenta}{b}) = a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \binom{3}{2}a b^2 + \textcolor{magenta}{b^3}$$
$${(a + b)}^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \binom{3}{2}a b^2 + \binom{3}{3}b^3$$

Fórmula Geral

$${(a + b)}^n = \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}b^i$$

Exercícios

Qual o quinto termo em ${(x + y)}^7$?

Qual o resultado de ${(3x - 1)}^5$?

Qual o último termo em ${(ab + 3x)}^6$?

Triângulo de Pascal

n i 0 1 2 3 4 5
0 $\binom{0}{0}$
1 $\binom{1}{0}$ $\binom{1}{1}$
2 $\binom{2}{0}$ $\binom{2}{1}$ $\binom{2}{2}$
3 $\binom{3}{0}$ $\binom{3}{1}$ $\binom{3}{2}$ $\binom{3}{3}$
4 $\binom{4}{0}$ $\binom{4}{1}$ $\binom{4}{2}$ $\binom{4}{3}$ $\binom{4}{4}$

Triângulo de Pascal

n i 0 1 2 3 4 5
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1

Propriedades

  • Primeira coluna $\binom{n}{0}$ é $1$
  • Última coluna $\binom{n}{n}$ é $1$
  • Soma $\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}$ é $2^n$
  • Fórmula de Pascal: $\binom{n}{i} + \binom{n}{i + 1} = \binom{n + 1}{i + 1}$
  • $\binom{n}{i} = \binom{n}{n - i}$

Complicando...

$${(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)}^n$$

São $n$ escolhas...

Podemos escolher $k_i$ vezes $x_i$...

$$k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_m = n$$

Termos

Um termo genérico fica como

$$x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \cdots x_m^{k_m}$$

Falta o coeficiente...

Coeficiente

$$C x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \cdots x_m^{k_m}$$

Das $n$ escolhas temos que selecionar $k_i$ vezes o $x_i$

$$C = \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$

Explicação

$$C = \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$

Como distribuir $n$ objetos dentro de $m$ caixas com $k_i$ na $i$-ésima caixa?

Não Gostou?

$$C = \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$

Formas de escrever uma palavra com $n$ letras em que temos $m$ letras distintas com $k_i$ repetições da letra $x_i$

Exemplo: MISSISSIPPI

Polinômio de Leibniz

$${(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)}^n =$$
$$= \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_m} \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$$

Fim