Análise Combinatória

Combinações e Permutações

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Permutação

uma ordem específica para os elementos de um conjunto

Quantidade de Permutações

Conjunto $A$ com $|A| = n$

$P(n)$ é o número de permutações diferentes dos elementos de $A$

$$P(n) = n!$$

Exemplo

De quantas formas diferentes podemos colocar $10$ pessoas em fila?

$$\begin{align*} P(10) &= 10!\\ &= 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 1\\ &= 3628800\end{align*}$$

Arranjo

uma permutação parcial de elementos

Quantidade de Arranjos

Dado conjunto $A$ com $|A| = n$

$P(n, r)$ é a quantidade de permutações parciais com $r$ elementos de $A$

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$

Exemplo

De quantas formas diferentes podemos colocar $7$ pessoas em fila de um grupo com $10$ pessoas?

$$\begin{align*} P(10, 7) &= \frac{10!}{(10 - 7)!}\\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 1}{3!}\\ &= 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot 4\\ &= 604800\end{align*}$$

Observações

$$P(n, n) = P(n)$$

$$P(n, 0) = 1$$

$$P(n, 1) = n$$

Combinação Simples

Um subconjunto de um conjunto

Quantidade de Combinações

Dado conjunto $A$ com $|A| = n$

$C(n, r)$ é a quantidade de combinações de $A$ com $r$ elementos

$$C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$$

Exemplo

De quantas formas podemos selecionar $7$ pessoas de um grupo de $10$ pessoas?

$$\begin{align*} C(10, 7) &= \frac{10!}{(10 - 7)! 7!}\\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6}\\ &= 120\end{align*}$$

Permutação com Repetição

É uma permutação em que elementos do conjunto podem se repetir

Quantidade de Permutações com repetição

Dado conjunto $A$ com $|A| = n$

$n^r$ é a quantidade de permutações parciais com $r$ elementos de $A$

Combinação com Repetição

É uma combinação em que os elementos da combinação podem se repetir

Quantidade de combinações com repetição

Dado conjunto $A$ com $|A| = n$

$C'(n, r)$ é a quantidade de combinações com $r$ elementos de $A$ permitindo repetição

$$C'(n, r) = C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{(n - 1)! r!}$$