Teoria Ingênua dos Conjuntos
Conjunto é uma coleção de elementos
Conjuntos são denotados por letras maiúsculas do alfabeto
Conjuntos
- A: conjunto de todas as cores do arco-íris
- B: conjunto de todos os números naturais
- C: conjunto de todas as marcas de carros
Representação
$$A = \left\{\textnormal{verde}, \textnormal{amarelo},
\textnormal{azul}, \textnormal{vermelho}\right\}$$ $$B = \left\{0,
1, 2, 3, 4, \ldots\right\}$$ $$C = \left\{x \mid x \textnormal{ é
uma cor do arco-íris}\right\}$$
Pertinência
$$A = \left\{\textnormal{verde}, \textnormal{amarelo},
\textnormal{azul}, \textnormal{vermelho}\right\}$$
$$\textnormal{verde} \in A$$ $$\textnormal{roxo} \notin A$$
Observações
A ordem dos elementos não importa
Não existem elementos repetidos
Problema
$$S = \left\{A \mid A \notin A\right\}$$
$S \in S?$
Se $S \in S$ então $S \notin S$
Se $S \notin S$ então $S \in S$
Axioma
premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira
Teoria Axiomática dos Conjuntos
Existe um conjunto vazio
Escreve ∅ ou $\{\}$
Teoria Axiomática dos Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se e somente se eles tem os mesmos
elementos
Escreve: $A = B$
$x \in A$ se e somente se $x \in B$
Operações
- União
- $A \cup B = \left\{x \mid x \in A \lor x \in B\right\}$
- Intercessão
- $A \cap B = \left\{x \mid x \in A \land x \in B\right\}$
- Complemento
- $A' = \left\{x \mid x \notin A\right\}$
Relações
- Subconjunto
- $A \subset B$ se todo elemento de $A$ é elemento de $B$
∅ é subconjunto de todos os conjuntos
Diagramas de Venn
desenho que representa todas as intercessões de conjuntos
Conjuntos Notáveis
- Vazio
- $\emptyset$
- Naturais
- $\mathbb{N} = \left\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\right\}$
- Inteiros
-
$\mathbb{Z} = \left\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\right\}$
- Racionais
-
$\mathbb{Q} = \left\{x/y \mid x \in \mathbb{Z} \land y \in
\mathbb{Z}^*\right\}$
Cardinalidade
número de elementos de um conjunto finito
$\mathbb{N}$ tem cardinalidade infinita
Os outros conjuntos infinitos são comparados com $\mathbb{N}$
$\mathbb{Z}$ tem cardinalidade igual à $\mathbb{N}$
$|A|$ é a notação para cardinalidade