Princípio da Inclusão Exclusão e Casa dos Pombos

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Princípio da Inclusão Exclusão

Dados conjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$

Quantos elementos existem em

$$\bigcup_{i = 1}^n A_i$$

Começando com $A$ e $\textcolor{blue}{B}$

dois conjuntos e sua intercessão
$$|\textcolor{white}{A} \cup \textcolor{blue}{B}|$$

Começando com $A$ e $\textcolor{blue}{B}$

dois conjuntos e sua intercessão
$$|A \cup \textcolor{blue}{B}| = |A| + |\textcolor{blue}{B}|$$

Começando com $A$ e $\textcolor{blue}{B}$

dois conjuntos e sua intercessão
$$|A \cup \textcolor{blue}{B}| = |A| + |\textcolor{blue}{B}| - |A \cap \textcolor{blue}{B}|$$

Agora com $A$, $\textcolor{blue}{B}$ e $\textcolor{magenta}{C}$

Três conjuntos e sua intercessões
$$|\textcolor{white}{A} \cup \textcolor{blue}{B} \cup \textcolor{magenta}{C}|$$

Agora com $A$, $\textcolor{blue}{B}$ e $\textcolor{magenta}{C}$

Três conjuntos e suas intercessões Três conjuntos e suas intercessões Três conjuntos e suas intercessões
$$|\textcolor{white}{A} \cup \textcolor{blue}{B} \cup \textcolor{magenta}{C}| = |A| + |\textcolor{blue}{B}| + |\textcolor{magenta}{C}|$$

Agora com $A$, $\textcolor{blue}{B}$ e $\textcolor{magenta}{C}$

Três conjuntos e suas intercessões
$$\begin{align*}|\textcolor{white}{A} \cup \textcolor{blue}{B} \cup \textcolor{magenta}{C}| &= |A| + |\textcolor{blue}{B}| + |\textcolor{magenta}{C}| \cdots \\ &\cdots - |A \cap \textcolor{blue}{B}| - |A \cap \textcolor{magenta}{C}| - |\textcolor{blue}{B} \cap \textcolor{blue}{C}|\end{align*}$$

Agora com $A$, $\textcolor{blue}{B}$ e $\textcolor{magenta}{C}$

Três conjuntos e suas intercessões
$$\begin{align*}|\textcolor{white}{A} \cup \textcolor{blue}{B} \cup \textcolor{magenta}{C}| &= |A| + |\textcolor{blue}{B}| + |\textcolor{magenta}{C}| \cdots \\ &\cdots - |A \cap \textcolor{blue}{B}| - |A \cap \textcolor{magenta}{C}| - |\textcolor{blue}{B} \cap \textcolor{blue}{C}| + \cdots \\ &\cdots + |A \cap \textcolor{blue}{B} \cap \textcolor{magenta}{C}|\end{align*}$$

Princípio da Inclusão Exclusão

Dados conjuntos $A_1, \ldots A_n$

$$\begin{align*}\left|\bigcup_{i = 1}^n A_i\right| &= \sum_{1 \leq i \leq n} \left|A_i\right| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left|A_i \cap A_j\right|\\ &+ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} \left|A_i \cap A_j \cap A_k\right|\\ &- \cdots + {\left(-1\right)}^{n + 1} \sum \left|A_1 \cap \cdots \cap A_n\right|\end{align*}$$

Princípio da Casa dos Pombos

Se existem mais pombos que casas, então pelo menos uma casa vai mais de um pombo!

Exemplo

Quantas pessoas precisa ter uma sala para garantir que pelo menos duas fazem aniversário no mesmo dia/mês?

Exercícios

Exercício 1

Todos os convidados de uma festa bebem café ou chá.

$13$ convidados bebem café;

$10$ bebem chá;

$4$ bebem ambos;

Quantas pessoas foram convidadas?

Exercício 2

Em um grupo de $24$ pessoas:

$14$ gostam de pagode; $17$ gostam de axé;

$11$ de pagode e k-pop; $9$ de pagode e axé;

$13$ de k-pop e axé; $8$ de k-pop, pagode e axé;

Quantas pessoas gostam de k-pop?

Exercício 3

Em um baralho, quantas cartas tem que ser sorteadas para garantir uma mão com $2$ rainhas?

Exercício 4

Em um grupo de pessoas, qual deve ser o tamanho para garantir $3$ nascidas no mesmo mês?

Exercício 5

Se $51$ números são selecionados de $1$ até $100$ então existe um que divide outro?