Indução Matemática

Demonstração no contexto dos números naturais

Por que funciona?

Por que funciona?

Por que funciona?

Nomenclatura

Base

$P(1)$

Hipótese

$P(k)$ é verdade

Passo

Prova de $P(k + 1)$ a partir de $P(k)$

Exemplo

Toda árvore binária de altura $n$ tem $2^n$ folhas

Altura é o número de níveis menos 1

Base

Verdade para árvore de altura 0?

$2^0 = 1$ → Sim!

Hipótese

Árvores de $k$ altura tem $2^k$ folhas

Passo

Pegue uma árvore de altura $k$

Pela hipótese ela tem $2^k$ folhas

Adicione um nível abaixo dessas folhas

Cada folha tem que ter dois filhos

Nova Altura $k + 1$

Nova quantidade de folhas é $2 \cdot 2^k$

$2 \cdot 2^k = 2^{k + 1}$

Resumo Indução Simples

1. Provar $P(\text{base})$
2. Assumir $P(k)$
3. Provar $P(k + 1)$

Segundo Princípio da Indução Matemática

Pra que o segundo princípio

Ele permite usar $P(r)$ como hipótese

É importante quando precisamos mais do que $P(k)$ para mostrar $P(k + 1)$

Exemplo

Todo número $n \geq 2$ ou é primo ou um produto de números primos

Base

$P(2)$

$2$ é primo

Hipótese (simples)

$P(k)$

Passo

Assumindo $P(k)$

Mostrar que $k + 1 = ab$ ou $k + 1$ é primo

Se $k + 1$ é primo → OK!

Se $k + 1 = ab$ → nada garante $P(a)$ ou $P(b)$

Hipótese

$P(r)$ para todo $2 \leq r \leq k$

Passo

Assumindo $P(r)$ para todo $2 \leq r \leq k$

Mostrar que $k + 1 = ab$ ou $k + 1$ é primo

Passo

Assumindo $P(r)$ para todo $2 \leq r \leq k$

Se $k + 1 = ab$

$P(a)$ e $P(b)$

Passo

Assumindo $P(r)$ para todo $2 \leq r \leq k$

$a$ e $b$ são primos ou um produto de números primos

$k + 1$ nesse caso é um produto de números primos