Lógica de Predicados

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Expressividade

Todo pássaro voa

Pinguim é pássaro

Pinguim não voa

Lógica proposicional não consegue relacionar essas proposições

Formalismo

Contexto
os elementos de que se fala
Propriedade
algo que cada elemento do contexto tem ou não, mas não ambos

Exemplo

  • Contexto: todas as espécies de pássaros
  • Propriedade: $x$ voa

Notação

O contexto normalmente é implícito ou irrelevante

$P(x)$ é verdadeiro se $x$ tem a propriedade

$P(x)$ é falso se $x$ não tem a propriedade

Exemplo

  • $P(x)$: $x$ voa
  • $P(x)$: $x$ é branco
  • $P(x)$: $x$ tem penas

Quantificador

Uma fórmula lógica tem que ser verdadeira ou falsa

$P(x)$: $x$ voa

Verdade ou Falso?

Variável Livre

$$P(x) \lor Q(x) \rightarrow S(x)$$

O valor lógico da fórmula depende de $x$

$x$ é livre

Para Todo

$$\forall x P(x)$$

só é verdadeira se todos os elementos do contexto tiverem a propriedade

Existe

$$\exists x P(x)$$

só é verdadeira se existir pelo menos um elemento do contexto com a propriedade

Exemplos de Fórmulas

  • $\forall x P(x) \lor Q(x)$
  • $\forall x P(x) \rightarrow \exists y Q(y)$
  • $\exists x \forall y R(x, y)$

Uma fórmula é bem formada se ela pode ser avaliada em verdadeira ou falsa

Exemplo

$P(x, y)$: $x$ é pai de $y$

$$\forall x \exists y P(x, y)$$

Todo mundo tem pelo menos um filho

Exemplo

$P(x, y)$: $x$ é pai de $y$

$$\forall y \exists x P(x, y)$$

Todo mundo tem pelo menos um pai

Exemplo

$P(x, y)$: $x$ é pai de $y$

$$\exists x \forall y P(x, y)$$

Existe alguém que é pai de todo mundo

Exemplo

$P(x, y)$: $x$ é pai de $y$

$$\exists x \exists y P(x, y)$$

Existe alguém que tem pelo menos um filho

Exemplo

$P(x, y)$: $x$ é pai de $y$

$$\forall x \forall y P(x, y)$$

Todo mundo é pai de todo mundo

Fim