Análise Combinatória

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(2,3,4,5,1)

Com $A = \left\{1, 2, \ldots, n\right\}$

\operatorname{Caóticas} = \operatorname{Todas} - \operatorname{Ordem}

\operatorname{Todas} = n!

$A_i$ permutações em que o $i$ está no seu lugar

|A_i| = (n - 1)!

\sum |A_i|

Todas as permutações com $3$ elementos no lugar

\begin{align*}S_3 &= \sum |A_i \cap A_j \cap A_k|\\ &= \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} (n - 3)! = \frac{n!}{3!}\end{align*}

Todas as permutações caóticas são

n! - S_1 + S_2 - S_3 + \cdots + {\left(-1\right)}^n S_n

n! \left[ \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + {\left(-1\right)}^n \frac{1}{n!}\right]

Como construir subconjuntos sem elementos consecutivos?

$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n\right\}$

Quantos subconjuntos com $r$ elementos não tem elementos consecutivos?

$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$ com $r = 3$

Como distribuir $3\spades$ e $4\hearts$ sem que dois $\spades$ fiquem juntos?

C(7 - 3 + 1, 3) = C(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)! 3!}

$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$ com $r = 3$

$1$ e $7$ são considerados consecutivos

\frac{7}{7 - 3} C(7 - 3, 3) = \frac{7}{4} C(4, 3)

De quantas formas é possível fazer uma roda de ciranda com $7$ gatos e $12$ cachorros sem que dois gatos fiquem adjacentes?