Permutações Caóticas
Nenhum elemento no seu local original
$$(2,3,4,5,1)$$
Contando Permutações Caóticas
Com $A = \left\{1, 2, \ldots, n\right\}$
$$\operatorname{Caóticas} = \operatorname{Todas} -
\operatorname{Ordem}$$
$$\operatorname{Todas} = n!$$
Permutações com Ordem
$A_i$ permutações em que o $i$ está no seu lugar
$$|A_i| = (n - 1)!$$
$$\sum |A_i|$$
Permutações com Ordem
Todas as permutações com $1$ elemento no lugar
$$S_1 = \sum |A_i| = n \cdot (n - 1)! = n!$$
Permutações com Ordem
Todas as permutações com $2$ elementos no lugar
$$S_2 = \sum |A_i \cap A_j| = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (n - 2)!
= \frac{n!}{2!}$$
Permutações com Ordem
Todas as permutações com $3$ elementos no lugar
$$\begin{align*}S_3 &= \sum |A_i \cap A_j \cap A_k|\\ &= \sum_{1
\leq i < j < k \leq n} (n - 3)! = \frac{n!}{3!}\end{align*}$$
Permutações com Ordem
Todas as permutações com $r$ elementos no lugar
$$S_r = \frac{n!}{r!}$$
Finalmente
Todas as permutações caóticas são
$$n! - S_1 + S_2 - S_3 + \cdots + {\left(-1\right)}^n S_n$$
$$n! \left[ \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} -
\frac{1}{3!} + \cdots + {\left(-1\right)}^n \frac{1}{n!}\right]$$
Melhor ainda
$$\frac{1}{e} \approx \left[ \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} +
\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + {\left(-1\right)}^n
\frac{1}{n!}\right]$$
$$\frac{n!}{e}$$
Lema(s) de Kaplansky
Como construir subconjuntos sem elementos consecutivos?
$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots, n\right\}$
Quantos subconjuntos com $r$ elementos não tem elementos
consecutivos?
Primeiro Lema de Kaplansky
$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$ com $r = 3$
Como distribuir $3\spades$ e $4\hearts$ sem que dois $\spades$
fiquem juntos?
$$C(7 - 3 + 1, 3) = C(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)! 3!}$$
Segundo Lema de Kaplansky
$A = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$ com $r = 3$
$1$ e $7$ são considerados consecutivos
$$\frac{7}{7 - 3} C(7 - 3, 3) = \frac{7}{4} C(4, 3)$$