Probabilidade

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Experimento Aleatório

Resultado praticamente imprevisível

Pode ser repetido infinitas vezes

A proporção de cada tipo de resultado em relação ao total estabiliza

Exemplo

Jogar uma moeda...

Jogar um dado...

Jogar poker...

Descobrir se uma partícula radioativa decaiu...

Nomenclatura

Espaço Amostral

Conjunto com os tipos de resultados diferentes de um Experimento Aleatório

Evento

Subconjunto do Espaço Amostral

Probabilidade

Função que diz a proporção de vezes dos elementos de um Evento são resultados do Experimento quando realizado infinitas vezes

Exemplo

Lançamento de Três Moedas

Espaço Amostral

$$\Omega = \{CCC, CCK, CKC, CKK,\\ KCC, KCK, KKC, KKK\}$$

Sair um número par de caras

$$A = \{CKK, KCK, KKC\}$$

Exemplo

Lançamento de Três Moedas

Probabilidade

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Espaço Uniforme é aquele com esse tipo de função de probabilidade

Propriedades

$$0 \leq P(A) \leq 1$$
$$P(\emptyset) = 0$$
$$P(\Omega) = 1$$
$$P(A') = 1 - P(A)$$
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Exercício(s)

Um par de dados é lançado, qual a probabilidade de...

  • Sair dois 1
  • Sair dois números iguais
  • Sair um em pelo menos um dado
  • A soma dar 7
  • Saírem números consecutivos
  • A soma ser maior do que 10

Probabilidade Condicional

Qual a chance do evento $A$ acontecer, sabendo que $B$ aconteceu?

Qual a chance de chover sabendo que o céu está carregado

Definição

Probabilidade de $A$ acontecer sabendo que $B$ aconteceu

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Em um caso uniforme...

$$P(A | B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$$

Exemplo

17% dos pacientes responderam bem ao produto $A$

34% dos pacientes responderam bem ao produto $B$

8% dos pacientes responderam bem aos dois

A chance de alguém responder bem ao produto $B$ sabendo que respondeu bem ao $A$ é...

Exemplo

$$P(A) = 17\%$$
$$P(B) = 34\%$$
$$P(A \cap B) = 8\%$$
$$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.08}{0.17} \approx 0.47$$

Fim