Recorrência

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Recorrência

Uma estrutura matemática que usa ela própria para se definir

Estrutura Recorrente

normalmente tem uma base definida de forma explicita

utiliza de estruturas similares e menores para definir algum elemento

Exemplo

$$0! = 1$$
$$n! = n \cdot (n - 1)!$$

Nomenclatura

Sequência $S(1), S(2), \ldots, S(k), \ldots$

Cada $S(i)$ é definido a partir de $S(k)$ com $k < i$

$S(1)$ é a base

Relação de Recorrência

Forma geral

$$ \begin{align*} S(1) &= k\\ S(n) &= f(S(1), \ldots, S(n - 1)) \end{align*} $$

Exemplo

Fibonacci

$$\begin{align*} F(1) &= 1\\F(2) &= 1\\ F(n) &= F(n - 1) + F(n - 2) \end{align*}$$

Exercício(s)

$$\begin{align*} T(1) &= 1\\ T(n) &= T(n - 1) + 3 \end{align*}$$

Quais os primeiros valores de $T$?

Exercício(s)

Considerando Fibonacci mostre que

$$F(n + 4) = 3 F(n + 2) - F(n), \quad \forall n \geq 1$$

Conjunto Recorrente

Conjunto das Fórmulas bem formadas

Qualquer proposição atômica é uma Fórmula Bem Formada

Se $P$ e $Q$ são Fórmula Bem Formada então

  • $(P \land Q)$ e $(P \lor Q)$ e $(\lnot P)$ e $(P \rightarrow Q)$
  • $(P \leftrightarrow Q)$

Também são

Operação Recorrente

Multiplicação

$$\begin{align*} a \cdot 1 &= a\\ a \cdot b &= a \cdot (b - 1) \end{align*}$$

Exercícios(s)

Qual o menor número de movimentos para resolver o problema das torres de Hanoi?

$F(1) + F(2) + \cdots + F(n) = F(n + 2) - 1$
$F(2) + F(4) + \cdots + F(2n) = F(2n + 1) - 1$

Para calcular $F(5)$ quantas vezes precisamos de $F(3)$?

Fim