Relações Lineares Coeficientes Constantes
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2) + \cdots c_n S(1) + f(n)$$
Expandir Adivinhar Provar
Expandir os primeiros termos
Adivinhar a solução fechada
Provar que está certo
Exemplo
$$\begin{align*}T(1) &= 1\\T(n) &= T(n - 1) + 3\end{align*}$$
$$\begin{align*} T(1) &= 1\\ T(2) &= 4\\ T(3) &= 7\\ T(4) &= 10\\
\end{align*}$$
Exemplo
$$\begin{align*} T(1) &= 1 &= 3 \cdot 1 - 2\\ T(2) &= 4 &= 3 \cdot
2 - 2\\ T(3) &= 7 &= 3 \cdot 3 - 2\\ T(4) &= 10 &= 3 \cdot 4 - 2\\
\end{align*}$$
$$T(n) = 3n - 2$$
Exemplo
Agora basta provar por indução simples...
$$\begin{align*}T(1) &= 1\\T(n) &= T(n - 1) + 3\end{align*}$$
⇅
$$T(n) = 3n - 2$$
Outro Método...
Relações de recorrência lineares homogêneas com coeficientes
constantes...
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2) + \cdots c_n S(1) + f(n)$$
Homogênea é $f(n) = 0$
Solução pra Primeira Ordem
$$S(n) = c S(n - 1) + g(n)$$
Solução pra Primeira Ordem
$$ \begin{align*} S(n) &= c S(n - 1) + g(n)\\ S(n) &= c^2 S(n - 2)
+ g(n) + c g(n - 1)\\ S(n) &= c^2 S(n - 2) + g(n) + c g(n - 1)\\
S(n) &= c^3 S(n - 3) + g(n) + c g(n - 1) + c^2 g(n - 2)
\end{align*} $$
Solução pra Primeira Ordem
$$\begin{align*}S(n) &= c^k S(n - k) + \\ &+ c^{k - 1} g(n - (k -
1)) + \ldots + c g(n-1) + g(n)\end{align*}$$
Solução pra Primeira Ordem
$$\begin{align*}S(n) &= c^{n - 1} S(1) + \\ &+ c^{n - 2} g(2) +
\ldots + c^1 g(n-1) + c^0 g(n)\end{align*}$$
Solução pra Primeira Ordem
$$S(n) = c^{n - 1} S(1) + \sum_{i = 2}^n c^{n - i} g(i)$$
Solução geral para Primeira Ordem
$$S(n) = c^{n - 1} S(1) + \sum_{i = 2}^n c^{n - i} g(i)$$
Agora o problema se resume à resolver essa equação genérica...
Não é uma solução fechada
Recorrência Linear Homogênea de Segunda Ordem
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2)$$
Método Geral
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2)$$
Simplificando...
$$S(n) = c_1 S(n - 1)$$
Método Geral
$$S(n) = c_1 S(n - 1)$$
$$S(n) = p r^{n - 1}$$
$p = S(1)$ e $r$ é a raiz de...
$$x - c_1 = 0$$
Especulando...
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2)$$
Pode ser...
$$S(n) = p r_1^{n - 1} + q r_2^{n - 1}$$
Hipótese
$$S(n) = c_1 S(n - 1) + c_2 S(n - 2)$$
$$S(n) = p r_1^{n - 1} + q r_2^{n - 1}$$
$$\left\{\begin{align*}S(1) &= p + q\\S(2) &= pr_1 + q
r_2\end{align*}\right.$$
com $r_1$ e $r_2$ raiz de...
$$x^2 - c_1 x - c_2 = 0$$
Exemplo
$$S(n) = 2S(n - 1) + 3S(n - 2), S(1) = 3, S(2) = 1$$
$$x^2 - c_1 x - c_2 = 0$$
$c_1 = 2$ e $c_2 = 3$
$$x^2 - 2x - 3 = 0$$
Exemplo
$$S(n) = 2S(n - 1) + 3S(n - 2), S(1) = 3, S(2) = 1$$
Raízes
$$r_1 = 3 \qquad r_2 = - 1$$
Exemplo
$$S(n) = 2S(n - 1) + 3S(n - 2), S(1) = 3, S(2) = 1$$
$$\left\{\begin{align*}S(1) &= p + q\\S(2) &= pr_1 +
qr_2\end{align*}\right.$$
$$\left\{\begin{align*}3 &= p + q\\1 &= 3p - q
\end{align*}\right.$$
Exemplo
Resultado
$$p = 1 \qquad q = 2$$
$$S(n) = p 3^{n - 1} + q {\left( - 1 \right)}^{n - 1}$$
$$S(n) = 3^{n - 1} + 2 {\left( - 1 \right)}^{n - 1}$$