Somatório e Produtório

Para a disciplina de Matemática Finita por Ronan Soares

Somas compridas...

  • $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1001 = ?$
  • $1 - 1 + 2 - 2 + \cdots + 500 = ?$
  • $1 + 2 + 3 + 5 + \cdots + 10 = ?$
  • Some todos os elementos de um conjunto.
  • Some todos os valores de uma variável.

"Somatórios" Famosos

  • $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
  • $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots = \frac{4}{3}$
  • $\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = e$

Notação

Índices

$$\sum_{i = 1}^n f(i)$$

Conjuntos

$$\sum_{i \in S} f(i)$$

Índices

$$\sum_{i = a}^b f(i)$$

Some todos os valores de $f(i)$ quando $i$ são os números inteiros de $a$ até $b$.

Exemplo(s)

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = 1}^5 i$$

Quando:

  • $a = 1$
  • $b = 5$
  • $f(i) = i$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = 1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = 1}^3 2$$

Quando:

  • $a = 1$
  • $b = 3$
  • $f(i) = 2$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = 1}^3 2 = 2 + 2 + 2$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = -1}^1 (i + 2)$$

Quando:

  • $a = -1$
  • $b = 1$
  • $f(i) = i + 2$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = -1}^1 (i + 2) = (-1 + 2) + (0 + 2) + (1 + 2)$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = 5}^0 f(i)$$

Quando:

  • $a = 5$
  • $b = 0$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = 5}^0 f(i) = 0$$

Por definição!

Exemplo(s)

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = 2}^4 i^{i + 1}$$

Quando:

  • $a = 2$
  • $b = 4$
  • $f(i) = i^{i + 1}$

Exemplo(s)

$$\sum_{i = 2}^4 i^{i + 1} = 2^{2 + 1} + 3^{3 + 1} + 4^{4 + 1}$$

Conjuntos

$$\sum_{i \in S} f(i)$$

Some todos os valores de $f(i)$ quando $i$ são os elementos de $S$.

Exemplo(s)

$$\sum_{i \in S} f(i) = \sum_{i \in S} i$$

Quando:

  • $S = \{1, 2.3, 6\}$
  • $f(i) = i$

Exemplo(s)

$$S = \{1, 2.3, 6\}$$ $$\sum_{i \in S} i = 1 + 2.3 + 6 = 9.3$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i \in S} f(i) = \sum_{i \in S} (3i + 2)$$

Quando:

  • $S = \{-1, 3\}$
  • $f(i) = 3i + 2$

Exemplo(s)

$$S = \{-1, 3\}$$ $$\sum_{i \in S} (3i + 2) = (3 \cdot (-1) + 2) + (3 \cdot 3 + 2)$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i \in S} f(i) = \sum_{i \in S} \sin(i)$$

Quando:

  • $S = \left\{\frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi\right\}$
  • $f(i) = \sin(i)$

Exemplo(s)

$$S = \left\{\frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi\right\}$$ $$\sum_{i \in S} \sin(i) = \sin(\pi/2) + \sin(\pi) + \sin(2\pi)$$

Exemplo(s)

$$\sum_{i \in S} f(i) = \sum_{i \in S} 1/i$$

Quando:

  • $S = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ é par}\}$
  • $f(i) = 1/i$

Exemplo(s)

$$S = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ é par}\}$$ $$\sum_{i \in S} \frac{1}{i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots $$

Propriedades

Distributividade

$$\sum_{i = a}^b C \cdot f(i) = C \sum_{i = a}^b f(i)$$ $$\sum_{i = 3}^7 5 \cdot i = 5 \sum_{i = 3}^7 i$$

Mesclagem

$$\sum_{i = a}^b f(i) \pm \sum_{i = a}^b g(i) = \sum_{i = a}^b f(i) \pm g(i)$$ $$\sum_{i = 3}^7 2i + \sum_{i = 3}^7 3 = \sum_{i = 3}^7 (2i + 3)$$

Separação

$$\sum_{i = a}^b f(i) = \sum_{i = a}^c f(i) + \sum_{i = c + 1}^b f(i)$$ $$\sum_{i = 0}^7 2i^3 = \sum_{i = 0}^3 2i^3 + \sum_{i = 4}^7 2i^3$$

Somatórios Aninhados

$$\sum_i \sum_j f(i, j) $$

VIXE!

$$\sum_i \sum_j f(i, j) $$

Não tem problema

Resolve o de fora e depois o de dentro

$$\sum_{i = 0}^2 \sum_{j = i}^2 i + j$$
$$\left(\sum_{j = 0}^2 0 + j\right) + \left(\sum_{j = 1}^2 1 + j\right) + \left(\sum_{j = 2}^2 2 + j\right)$$
$$\sum_{j = 0}^2 0 + j = (0 + 0) + (0 + 1) + (0 + 2)$$
$$3 + \left(\sum_{j = 1}^2 1 + j\right) + \left(\sum_{j = 2}^2 2 + j\right)$$
$$\sum_{j = 1}^2 1 + j = (1 + 1) + (1 + 2)$$
$$\sum_{j = 2}^2 2 + j = (2 + 2)$$
$$\sum_{i = 0}^2 \sum_{j = i}^2 i + j = 3 + 5 + 4 = 12$$

Produtório

Notação

Índices

$$\prod_{i = a}^b f(i)$$

Conjuntos

$$\prod_{i \in S} f(i)$$

Índice

$$\prod_{i = a}^b f(i)$$

Multiplique todos os valores de $f(i)$ para os números inteiros de $a$ até $b$.

Conjunto

$$\prod_{i \in S} f(i)$$

Multiplique todos os valores de $f(i)$ para os elementos em $S$.

Fim