Conjectura

Uma afirmação que não se sabe se é verdade

$n! \leq n^2$ qualquer que seja $n$ inteiro

Contra-Exemplo

Um exemplo mostrando uma conjectura sendo falsa

Basta um contra-exemplo!

$n! \leq n^2$ qualquer que seja $n$ inteiro

$4! = 24$

$4^2 = 16$

$24 > 16$

Técnica de Demonstração

Uma forma organizada de se demonstrar uma conjectura

Pensamento Indutivo

Um cisne é branco

Um segundo cisne é branco

Um terceiro cisne é branco também!

Conclusão: Todos os cisnes são brancos!

Errado!

Exemplo não prova regra!

Pensamento Dedutivo

Baseado em premissas

Respeitando regras de inferência

Falácias

Argumentos que não são regras de inferência válidas

Ad Hominem

rejeitar o mensageiro em vez da mensagem

Você não pode falar sobre $x$ pois é uma pessoa que gosta de $y$

Apelo à autoridade

aceitar a mensagem por influência do mensageiro

Deve ser verdade, pois fulano é formado em $x$

Mas é minha opinião

O pensamento dedutivo não é opinião

Outras falácias

A wikipedia tem uma boa lista de tipos de falácias

Regras de Inferência

Regra para se concluir algo verdadeiro a partir de algo verdadeiro

Modus Ponens

Premissas

$P$ e $P \rightarrow Q$

Conclusão

$Q$

• Sócrates é mortal
• Se algo é mortal então morre no final
• Sócrates morre no final

Modus tollens

Premissas

$\neg Q$ e $P \rightarrow Q$

Conclusão

$\neg P$

• Sócrates não morre no final
• Se algo é mortal então morre no final
• Sócrates não é mortal

Silogismo

Premissas

$P \rightarrow Q$ e $Q \rightarrow R$

Conclusão

$P \rightarrow R$

• Se tenho tempo livre então vou dormir
• Se vou dormir então vou desligar a luz
• Se tenho tempo livre então vou desligar a luz

Adição

Premissas

$P$

Conclusão

$P \lor Q$

Simplificação

Premissas

$P \land Q$

Conclusão

$P$

• Sócrates é mortal e Sócrates é humano
• Sócrates é mortal

Conjunção

Premissas

$P$ e $Q$

Conclusão

$P \land Q$

• Sócrates é mortal
• Sócrates é humano
• Sócrates é mortal e Sócrates é humano

Instanciação

Premissas

$\exists x P(x)$ ou $\forall x P(x)$

Conclusão

$P(a)$

• Existe pássaro que não voa
• Pinguim não voa

Universalização

Premissas

$P(x)$ para todo $x$ do contexto

Conclusão

$\forall x P(x)$

Exaustão

Verificar todos os casos para ver se satisfazem a propriedade

Exemplo

É impossível desenhar a figura abaixo sem levantar o lápis ou passar por cima de uma linha já desenhada

Prova Direta

Utiliza premissas e as regras de dedução para se chegar em uma conclusão

$P \rightarrow Q$

Pode assumir $P$ como verdadeira

Usando as regras deve-se concluir $Q$

Exemplo

Se $x$ é par e $y$ é par, então $xy$ é par

1. $x$ é par e $y$ é par
2. $\forall x (x \text{ é par}) \rightarrow \exists k (x = 2k)$
3. $(x \text{ é par}) \rightarrow \exists k (x = 2k)$
4. $(y \text{ é par}) \rightarrow \exists k (y = 2k)$
5. $x \text{ é par}$
6. $\exists k (x = 2k)$
7. $x = 2m$
8. $y \text{ é par}$
9. $\exists k (y = 2k)$
10. $y = 2n$

11. $xy = 2m2n$
12. $xy = 2z$

Conclusão: $xy$ é par

Contraposição

Objetivo

$P \rightarrow Q$

Desvio

Prova direta de $\neg Q \rightarrow \neg P$

Exemplo

Se o $n^2$ é ímpar então $n$ é ímpar

Se $n$ é par então $n^2$ é par

Já fizemos

Contradição

Objetivo

$P \rightarrow Q$

Desvio

$P \land \neg Q \rightarrow \bot$

Exemplo

Se $n + n = 0$ então $n = 0$

• $n + n = n$ e $n \neq 0$
• $2n = n$
• $2n/n = n/n$
• $2(n/n) = 1$
• $2 \cdot 1 = 1$
• $2 = 1$