Contra-Exemplo

Um exemplo mostrando uma conjectura sendo falsa

Basta um contra-exemplo!

$n! \leq n^2$ qualquer que seja $n$ inteiro

$4! = 24$

$4^2 = 16$

$24 > 16$

Técnica de Demonstração

Uma forma organizada de se demonstrar uma conjectura

Pensamento Indutivo

Um cisne é branco

Um segundo cisne é branco

Um terceiro cisne é branco também!

Conclusão: Todos os cisnes são brancos!

Errado!

Exemplo não prova regra!

Pensamento Dedutivo

Baseado em premissas

Respeitando regras de inferência

Ad Hominem

rejeitar o mensageiro em vez da mensagem

Você não pode falar sobre $x$ pois é uma pessoa que gosta de $y$

Apelo à autoridade

aceitar a mensagem por influência do mensageiro

Deve ser verdade, pois fulano é formado em $x$

Mas é minha opinião

O pensamento dedutivo não é opinião

Outras falácias

A wikipedia tem uma boa lista de tipos de falácias

Modus Ponens

Premissas

$P$ e $P \rightarrow Q$

Conclusão

$Q$

• Sócrates é mortal
• Se algo é mortal então morre no final
• Sócrates morre no final

Modus tollens

Premissas

$\neg Q$ e $P \rightarrow Q$

Conclusão

$\neg P$

• Sócrates não morre no final
• Se algo é mortal então morre no final
• Sócrates não é mortal

Silogismo

Premissas

$P \rightarrow Q$ e $Q \rightarrow R$

Conclusão

$P \rightarrow R$

• Se tenho tempo livre então vou dormir
• Se vou dormir então vou desligar a luz
• Se tenho tempo livre então vou desligar a luz

Adição

Premissas

$P$

Conclusão

$P \lor Q$

Simplificação

Premissas

$P \land Q$

Conclusão

$P$

• Sócrates é mortal e Sócrates é humano
• Sócrates é mortal

Conjunção

Premissas

$P$ e $Q$

Conclusão

$P \land Q$

• Sócrates é mortal
• Sócrates é humano
• Sócrates é mortal e Sócrates é humano

Instanciação

Premissas

$\exists x P(x)$ ou $\forall x P(x)$

Conclusão

$P(a)$

• Existe pássaro que não voa
• Pinguim não voa

Universalização

Premissas

$P(x)$ para todo $x$ do contexto

Conclusão

$\forall x P(x)$

Exemplo

É impossível desenhar a figura abaixo sem levantar o lápis ou passar por cima de uma linha já desenhada

Exemplo

Se $x$ é par e $y$ é par, então $xy$ é par

1. $x$ é par e $y$ é par
2. $\forall x (x \text{ é par}) \rightarrow \exists k (x = 2k)$
3. $(x \text{ é par}) \rightarrow \exists k (x = 2k)$
4. $(y \text{ é par}) \rightarrow \exists k (y = 2k)$
5. $x \text{ é par}$
6. $\exists k (x = 2k)$
7. $x = 2m$
8. $y \text{ é par}$
9. $\exists k (y = 2k)$
10. $y = 2n$

11. $xy = 2m2n$
12. $xy = 2z$

Conclusão: $xy$ é par

Exemplo

Se o $n^2$ é ímpar então $n$ é ímpar

Se $n$ é par então $n^2$ é par

Já fizemos

Exemplo

Se $n + n = 0$ então $n = 0$

• $n + n = n$ e $n \neq 0$
• $2n = n$
• $2n/n = n/n$
• $2(n/n) = 1$
• $2 \cdot 1 = 1$
• $2 = 1$